Méthodes de diffusion et apprentissage par score-matching appliqués aux équations de Navier–Stokes stochastiques

Dans le cadre déterministe, les équations de Navier–Stokes incompressibles décrivent les fluides visqueux et sont, en deux dimensions, globalement bien posées sous des hypothèses classiques. Cependant, elles ne capturent pas la variabilité et les phénomènes multi-échelles de la turbulence, liés aux dynamiques non résolues et aux incertitudes de modélisation. Les formulations stochastiques pallient cette limite en introduisant un bruit modélisant les fluctuations et l’incertitude, con- duisant à des équations différentielles partielles stochastiques, reliant mécanique des fluides et physique statistique. La solution du système stochastique devient alors un processus aléatoire dont la densité évolue selon une équation de Fokker–Planck, établissant un lien entre modélisation physique et inférence statistique. Ce cadre ouvre la voie aux modèles génératifs fondés sur le score-matching, qui apprennent le gradient du logarithme de la densité de probabilité. En paramé- trant ce champ par un réseau de neurones, on restitue la géométrie statistique des champs de vitesse sans expliciter la den- sité, permettant ensuite de reconstruire ou d’échantillonner les statistiques du flot via des processus de diffusion inverses. Ces méthodes s’appuient sur l’essor des modèles génératifs de diffusion, une classe de modèles particulièrement puissants pour l’apprentissage de distributions complexes.