Quelques apports de la géométrie différentielle dans la théorie des grandes transformations

La géométrie différentielle et la mécanique des milieux continus (MMC) ont une longue histoire commune depuis au moins la fin du XVIIIème siècle: Euler, Lagrange, Piola, Cosserat, Oldroyd, ... Une tentative de rationalisation du formalisme géométrique 3D de la MMC a été formulée par Truesdell et Noll au début de la seconde moitié du 20ème siècle. C'est elle qui est toujours utilisée de nos jours, notamment dans la théorie des grandes transformations. Il semble toutefois qu'une rupture radicale se soit produite dans les années 80 avec le développement des outils numériques et l'avancée rapide des moyens informatiques. Ce bouleversement a éclipsé de façon presque définitive le lien étroit entre la géométrie différentielle et la mécanique théorique. Par ailleurs, le concept traditionnel de "théorie scientifique" a été peu à peu remplacé par celui de "modèle ad hoc", compatible avec une plage plus ou moins restreinte de données expérimentales. Certains, peu nombreux et parfois isolés, ont malgré tout, maintenu ce lien étroit entre la géométrie différentielle et la mécanique théorique. On pourra citer, en particulier, et pour se limiter à la France, Jean-Marie Souriau avec ses nombreux apports sur le sujet (et en particulier la dérivation relativiste des principes fondamentaux de la MMC, qui apparaissent alors naturellement comme limite classique de principes issus de la relativité générale) mais également Paul Rougée qui a mis en valeur le rôle fondamental joué par l'ensemble des métriques riemanniennes dans la théorie des grandes transformations. Il semble toutefois y avoir un regain d'intérêt pour le sujet depuis une dizaine d’année. D’une part, le principe d'objectivité (ou d'indifférence matériel), qui est de première importance pour la formulation des lois de comportements, nécessite d’être mis en perspective avec le principe de covariance générale issu de la relativité générale. D’autre part, la notion de dérivée objective mérite d’être clairement et rigoureusement définie d’un point de vue mathématique. Cet exposé proposera quelques résultats et perspectives sur ces questions. On montrera, en particulier, après une exposition synthétique moderne du cadre géométrique 3D de la MMC que toutes les dérivées objectives correspondent en fait à des dérivées covariantes sur la variété de dimension infinie des métriques riemanniennes sur le Body. Cette formulation permet de les unifier toutes, rendant factice leur classification entre celles de type "dérivée de Lie" et celles de type "co-rotationnel". On esquissera ensuite un cadre géométrique 4D (introduit par Souriau) qui permet de formuler correctement la MMC relativiste. Ce cadre général est celui de la théorie de jauge, qui sert de base mathématique aussi bien à la théorie des champs (et notamment l’électromagnétisme) qu’à la mécanique quantique. Cette approche 4D, qui fait intervenir la covariance générale, est en effet essentielle pour mieux comprendre le couplage mécanique/électromagnétisme, en particulier en grandes transformations.