Soutenance de thèse : Perla AZZI

Géométrie des strates d'isotropie appliqué à la mécanique des matériaux

Cette étude tourne autour des représentations linéaires des groupes de Lie compacts et de l’étude des classes d’isotropie de ces représentations. La motivation initiale de ce travail réside dans la résolution de certains problèmes en mécanique des matériaux où des représentations de groupes compacts, tels que les sous-groupes de O(3), sont impliqués.
Les classes d’isotropie des représentations de groupes sont connues pour être des ensembles semialgébriques caractérisés par des inégalités d’invariants polynomiaux. Dans cette thèse, nous prouvons que pour toute représentation d’un groupe de Lie compact, les classes d’isotropie fer- mées sont des ensembles algébriques. Ceci est motivé par de nombreux exemples en mécanique. Par exemple, les classes d’isotropie de la représentation de SO(3) sur l’espace des tenseurs har- moniques d’ordre 2 et 4 en mécanique sont données par des équations polynomiales, ce qui en fait des ensembles algébriques. De plus, nous prouvons un résultat en théorie des invariants, concernant la rationalité des invariants pour les représentations des groupes de Lie compacts. Plus précisément, pour toute représentation d’un groupe de Lie compact 𝐺 sur un espace vec- toriel réel 𝑉 et pour tout groupe d’isotropie 𝐻, tout invariant polynomial de la représentation du normalisateur 𝑁(𝐻) sur l’ensemble des points fixes 𝑉 𝐻 est bien la restriction sur 𝑉 𝐻 d’un invariant rationnel de la représentation initiale de 𝐺 sur 𝑉 . Cette dernière affirmation était déjà connue sous certaines conditions restrictives, comme dans le cas de corps algébriquement clos et d’isotropies génériques. Dans ce travail, les résultats sont prouvés sur R et sans autres conditions.
Dans un deuxième temps, une méthode pour déterminer les classes d’isotropie pour les représentations réductibles est proposée. Cette méthode est basée sur une opération binaire entre les classes de conjugaison des sous-groupes fermés d’un groupe compact, qui a été intro- duite pour obtenir les classes d’isotropie d’une somme directe de représentations, si les classes d’isotropie sont connues pour les facteurs irréductibles. Dans le cas spécifique du groupe orthog- onal tridimensionnel O(3), les clips entre certains types de sous-groupes de O(3) ont déjà été calculés. Cependant, jusqu’à présent, il manquait les clips entre les sous-groupes de type II et de type III. Ceux-ci apparaissent dans les lois constitutives couplées en 3D. Dans cette thèse, nous complétons les tables de clips en calculant les clips manquants. Comme application, nous obtenons 25 classes d’isotropie pour la représentation standard O(3) sur la loi piézoélectrique 3D complète, qui implique les trois tenseurs constitutifs d’élasticité, de piézoélectricité et de permittivité.
Un autre problème rencontré à de nombreuses reprises en mécanique est résolu dans ce tra- vail en utilisant des méthodes algébriques : étant donné un matériau expérimental sans isotropie spécifique, il est intéressant de déterminer l’isotropie la plus proche d’un tenseur constitutif pour ce matériau. Pour résoudre un tel problème, nous avons utilisé des méthodes d’optimisation
polynomiale en tirant profit de la caractérisation des classes d’isotropie par des covariants poly- nomiaux. Deux méthodes d’optimisation polynomiale sont présentées pour résoudre cette ques- tion et appliquées à certaines lois constitutives en mécanique telles que les lois d’élasticité et de piézoélectricité : l’une utilise un algorithme effectif basé sur la géométrie algébrique réelle et la théorie des moments et l’autre est un calcul explicite des points critiques par une méthode algébrique appelée méthode d’Euler-Lagrange.

 

Composition du jury

• Irina Kogan, North Carolina State University -- rapporteure
• Nicolas Dutertre, Université d'Angers -- rapporteur
• Nicolas Auffray, Sorbonne Université -- examinateur
• Jacky Cresson, Université de Pau -- examinateur
• Julien Grivaux, Sorbonne Université -- directeur
• Rodrigue Desmorat, Université Paris-Saclay -- co directeur
• Boris Kolev, Université Paris-Saclay -- encadrant
• Fabien Priziac, Université Bretagne Sud -- co encadrant (invité)

Mots-clés

Représentation de groupe compact, classes d’isotropie, loi de comportement, optimisation poly- nomiale, mécanique des milieux continus.